4.6. 内核近似

这个子模块包含与某些 kernel 对应的特征映射的函数,这个会用于例如支持向量机的算法当中(see 支持向量机)。 下面这些特征函数对输入执行非线性转换,可以用于线性分类或者其他算法。

kernel trick 相比,近似的进行特征映射更适合在线学习,并能够有效 减少学习大量数据的内存开销。使用标准核技巧的 svm 不能有效的适用到海量数据,但是使用近似内核映射的方法,对于线性 SVM 来说效果可能更好。 而且,使用 SGDClassifier 进行近似的内核映射,使得对海量数据进行非线性学习也成为了可能。

由于近似嵌入的方法没有太多经验性的验证,所以建议将结果和使用精确的内核方法的结果进行比较。

See also

多项式回归:用基函数展开线性模型 用于精确的多项式变换。

4.6.1. 内核近似的 Nystroem 方法

Nystroem 中实现了 Nystroem 方法用于低等级的近似核。它是通过采样 kernel 已经评估好的数据。默认情况下, Nystroem 使用 rbf kernel,但它可以使用任何内核函数和预计算内核矩阵. 使用的样本数量 - 计算的特征维数 - 由参数 n_components 给出.

4.6.2. 径向基函数内核

RBFSampler 为径向基函数核构造一个近似映射,又称为 Random Kitchen Sinks [RR2007]. 在应用线性算法(例如线性 SVM )之前,可以使用此转换来明确建模内核映射:

>>> from sklearn.kernel_approximation import RBFSampler
>>> from sklearn.linear_model import SGDClassifier
>>> X = [[0, 0], [1, 1], [1, 0], [0, 1]]
>>> y = [0, 0, 1, 1]
>>> rbf_feature = RBFSampler(gamma=1, random_state=1)
>>> X_features = rbf_feature.fit_transform(X)
>>> clf = SGDClassifier()   
>>> clf.fit(X_features, y)
SGDClassifier(alpha=0.0001, average=False, class_weight=None, epsilon=0.1,
       eta0=0.0, fit_intercept=True, l1_ratio=0.15,
       learning_rate='optimal', loss='hinge', max_iter=5, n_iter=None,
       n_jobs=1, penalty='l2', power_t=0.5, random_state=None,
       shuffle=True, tol=None, verbose=0, warm_start=False)
>>> clf.score(X_features, y)
1.0

这个映射依赖于内核值的 Monte Carlo 近似. fit 方法执行 Monte Carlo 采样,而该 transform 方法执行 数据的映射.由于过程的固有随机性,结果可能会在不同的 fit 函数调用之间变化。

fit 函数有两个参数: n_components 是特征变换的目标维数. gamma 是 RBF-kernel 的参数. n_components 越高,会导致更好的内核近似, 并且将产生与内核 SVM 产生的结果更相似的结果。请注意,”拟合” 特征函数实际上不取决于 fit 函数传递的数据。只有数据的维数被使用。 详情可以参考 [RR2007].

对于给定的值 n_components RBFSamplerNystroem 中使用通常不太准确, 但是 RBFSampler 使用更大的特征空间,更容易计算。

../_images/sphx_glr_plot_kernel_approximation_0021.png

将精确的 RBF kernel (左) 与 approximation (右) 进行比较。

4.6.3. 加性卡方核

Additive Chi Squared Kernel (加性卡方核)是直方图的核心,通常用于计算机视觉。

这里使用的 Additive Chi Squared Kernel 给出

k(x, y) = \sum_i \frac{2x_iy_i}{x_i+y_i}

这个和 sklearn.metrics.additive_chi2_kernel 不完全一样.[VZ2010]_ 的作者喜欢上面的版本,因为它总是积极的。 由于这个 kernel 是可添加的,因此可以分别处理嵌入的 x_i. 这使得在规则的间隔类对傅里叶变换进行性才赢,代替近似的 Monte Carlo 采样。

AdditiveChi2Sampler 类实现了这个组件采样方法. 每个组件都被采样 n 次,每一个输入维数都会产生 2n+1 维(来自傅立叶变换的实部和复数部分的两个数据段的倍数). 在文献中,n 经常取为 1 或者 2,将数据集转换为 n_samples * 5 * n_features 大小(在 n=2 的情况下 ).

AdditiveChi2Sampler 提供的近似特征映射可以和 RBFSampler 提供的近似特征映射合并,得到一个取幂的 chi squared kerne。可以查看 [VZ2010][VVZ2010] RBFSampler 的合并.

4.6.4. Skewed Chi Squared Kernel (偏斜卡方核?暂译)

skewed chi squared kernel 给出下面公式

k(x,y) = \prod_i \frac{2\sqrt{x_i+c}\sqrt{y_i+c}}{x_i + y_i + 2c}

它有和 指数卡方核 相似的属性,用于计算机视觉.但是允许进行简单的 蒙特卡洛 近似 的特征映射。

SkewedChi2Sampler 的使用和之前描述的 RBFSampler 一样.唯一的区别是自由参数,称之为 c. 这种映射和数学细节可以参考 [LS2010].

4.6.5. 数学方面的细节

核技巧 像支持向量机,或者 核化 PCA 依赖于 再生核希尔伯特空间(RKHS) 对于任何 核函数 k (叫做 Mercer kernel),保证了 \phi 进入 希尔伯特空间 \mathcal{H} 的映射,例如:

k(x,y) = \langle \phi(x), \phi(y) \rangle

\langle \cdot, \cdot \rangle 是在 Hilbert space 中做内积.

如果一个算法,例如线性支持向量机或者 PCA,依赖于数据集的数量级 x_i ,可能会使用 k(x_i, x_j) , 符合孙发的映射 \phi(x_i) . 使用 k 的优点在于 \phi 永远不会直接计算,允许大量的特征计算(甚至是无限的).

kernel 方法的一个缺点是,在优化过程中有可能存储大量的 kernel 值 k(x_i, x_j). 如果使用核函数的分类器应用于新的数据 y_jk(x_i, y_j) 需要计算用来做预测,训练集中的 x_i 有可能有很多不同的。

这个子模块的这些类中允许嵌入 \phi,从而明确的与 \phi(x_i) 一起工作, 这消除了使用 kernel 的需要和存储训练样本.

参考:

[RR2007]“Random features for large-scale kernel machines” Rahimi, A. and Recht, B. - Advances in neural information processing 2007,
[LS2010]“Random Fourier approximations for skewed multiplicative histogram kernels” Random Fourier approximations for skewed multiplicative histogram kernels - Lecture Notes for Computer Sciencd (DAGM)
[VZ2010]“Efficient additive kernels via explicit feature maps” Vedaldi, A. and Zisserman, A. - Computer Vision and Pattern Recognition 2010
[VVZ2010]“Generalized RBF feature maps for Efficient Detection” Vempati, S. and Vedaldi, A. and Zisserman, A. and Jawahar, CV - 2010